Як упакувати кулі. Робота українського математика стала світовою сенсацією

15 березня нинішнього року на препринтному сервері arxiv.org було опубліковано розв'язок задачі, над якою сушили голови найкращі математики світу, - знайдено оптимальну упаковку одиничних сфер у восьмивимірному просторі. Автор - український математик Марина Вязовська, випускниця механіко-математичного факультету КНУ ім. Шевченка, яка нині працює в Німеччині. Досі відповідні результати було отримано лише для просторів розмірності 1 (прямої лінії), 2 (площини) та 3 (геометричної моделі простору, в якому ми живемо).

Це лише препринт - тобто не рецензована публікація (після опублікування препринтів статті зазвичай посилають у рецензовані наукові журнали). Проте публікації на цьому сервері одразу читаються спеціалістами, і вже 21 березня інформація про розв'язання знаменитої задачі з'явилась у блозі американського математика Френка Моргана в газеті The Huffington Post, після чого була опублікована стаття в журналі Der Spiegel, та ще кілька статей у світовій пресі, ілюстрованих фотографіями гірок різних круглих фруктів та іншими яскравими малюнками.

Незважаючи на відсутність формального рецензування публікації, спеціалісти, які її прочитали, погоджуються, що доведення правильне. Американський науково-популярний журнал Quanta (30 березня 2016 р.) наводить думку Пітера Сарнака з Прінстонського університету: "Це доведення надзвичайно просте, як і всі видатні роботи". Доведення, звісно, недостатньо просте для того, аби його описувати в газеті, втім, зазначимо, що воно використовує теорію модулярних форм, яка застосовувалася також для доведення теореми Ферма.

У тій самій статті в журналі Quanta описується також історія роботи над цією проблемою. Над нею починали спільно працювати українські математики Андрій Бондаренко (зараз працює в Норвезькому університеті природничих наук та технологій у Тронхаймі), Данило Радченко (працює в Математичному інституті Макса Планка в Німеччині) та Марина Вязовська. Проте Андрій і Данило згодом переключилися на інші задачі, а Марина вважала цю задачу "своєю" і продовжувала роботу.

Задачу оптимального (найбільш щільного) пакування сфер однакового радіусу у тривимірному просторі поставив відомий астроном Йоганн Кеплер у 1611 р. у зв'язку з пошуком найкращого способу транспортування гарматних ядер на кораблі. У двовимірному просторі (тобто на площині) розв'язок задачі оптимального пакування кіл досить очевидний - це конфігурація "бджолині стільники", хоча доведення цього зовсім неочевидне і було знайдене лише в 1940 р. Гіпотезу Кеплера для тривимірного простору довів Томас Хейлс (із допомогою комп'ютера) лише у 1998 р. Тоді такий метод отримання математичного результату сам собою був сенсацією. Формальне доведення (отримане також із допомогою комп'ютера) було опубліковане лише у 2015 р.

Доведення, запропоноване Мариною Вязовською, - це всього 21 сторінка формул та розрахунків. На основі її роботи 21 березня Генрі Кон, Абінав Кумар, Стівен Д. Міллер, Данило Радченко та Марина Вязовська опублікували аналогічний результат для 24-вимірного простору. Найбільш щільне пакування сфер у 8-вимірному просторі визначається кристалічною решіткою Е8, у 24-вимірному просторі - решіткою Ліча. Цю решітку було побудовано британським математиком Лічем у зв'язку з так званим кодом Голея (код з виправленням помилок), який використовувався для передачі космічним апаратом "Вояджер" фотографій із Юпітера та Сатурна.

Інтерес до задач оптимального пакування у дво- та тривимірному просторі очевидний - це важливо не тільки для логістики гарматних ядер чи апельсинів, а й для кристалографії, хімії, нанотехнологій. Але хоча восьми- та 24-вимірний простори, не виключено, видадуться далеким від математики людям непотрібною абстракцією, отримані результати для багатовимірних просторів можуть застосовуватися в дуже несподіваних галузях - від теорії струн у теоретичній фізиці до теорії передачі інформації (кодування з виправленням помилок). Однак перш за все це доведення дуже важливе для багатьох галузей самої математики.