Зачем математика в школе — считать или мыслить?

Украинское математическое образование живет в странном разрыве. С одной стороны, победы на международных олимпиадах. С другой — как свидетельствуют результаты НМТ, исследования PISA, отечественных мониторингов качества образования, большинство учеников не понимает математику, а только воссоздает алгоритмы.

Сегодня государство пытается изменить эту ситуацию и реформировать математическое образование через концепцию «математика для жизни». Но такой подход воспринимается неоднозначно. Часто звучит аргумент: «жизненные задачи» — это примитивно. Необходимо знать большое количество теорем, формул и фактов, потому что именно это и есть «настоящая математика».

Впрочем, это противопоставление ошибочно. Формулы и законы необходимы. Но нельзя ограничиваться их механическим воспроизведением. Мировой опыт это уже доказал. Украина сегодня не выдумывает новый подход — она догоняет логику реформ, которые другие страны уже провели неоднократно и не без ошибок.

ВАС ЗАИНТЕРЕСУЕТ

Формула надежды: как мир празднует День математики и числа π

Как мир уже пытался изменить математическое образование

Мало кто задумывается, но реформы математического образования в мире начались не со школьных классов, а с лабораторий ученых и политических кабинетов. Уже в начале ХХ века стало понятно: школа учит математике, все больше отстающей от реальной науки и потребностей общества. Именно поэтому в 1908 году была создана Международная комиссия по математическому образованию (ICMI International Commission on Mathematical Instruction) под руководством выдающегося немецкого математика Феликса Кляйна. Это была фактически первая глобальная платформа для реформирования преподавания математики.

После двух мировых войн это сотрудничество вышло на новый уровень. Мир стремительно менялся: развивались технологии, индустрия требовала новых специалистов, а среднее образование стало доступным для значительно более широкого круга детей. Переломным символом этой эпохи стал так называемый Sputnik Shock — запуск советского спутника в 1957 году. Он продемонстрировал: будущее принадлежит странам, умеющим учить математике. Именно тогда правительства разных государств впервые начали рассматривать математическое образование в качестве вопроса национальной безопасности и развития.

В ответ на эти вызовы началась волна реформ, объединившая ученых, психологов и международные организации. OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development, Организация экономического сотрудничества и развития) говорила о потребностях экономики будущего, UNESCO — о доступности образования для всех, ICMI — о роли математики в новом технологическом обществе, а созданная во Франции организация CIEAEM (Commission Internationale pour l'Étude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques, Международная комиссия по изучению и усовершенствованию преподавания математики) пыталась объединить современную математику с пониманием того, как мыслит ребенок.

Зачем нам физика и математика во время войны?

Так родилась реформа «новой математики» New Math: попытка сделать школьный курс современным, приблизить его к реальной науке, научить учеников мыслить через структуры, модели и исследования. Причины появления этой реформы были понятны: быстрое развитие науки, холодная война, космическая гонка после запуска первого советского спутника и острая потребность в инженерах и исследователях требовали нового уровня математической подготовки. Математика должна была стать языком технологического будущего.

New Math была серьезной попыткой модернизировать школьную математику согласно науке ХХ века и изучать ее как систему идей, а не как набор процедур. Она предлагала вводить теорию множеств уже в младших классах, работать с числовыми системами разных основ, формировать понимание структуры математических теорий, а не только отрабатывать алгоритмы вычислений.

Но уже через несколько лет после начала внедрения стало понятно, что реформа сталкивается с серьезными трудностями. Родители перестали понимать домашние задания своих детей. Учителя не всегда имели достаточную подготовку для работы с новым содержанием. Абстрактные понятия появлялись раньше, чем формировалось интуитивное понимание количественных отношений. Как следствие, реформу стали воспринимать как слишком сложную и оторванную от реального опыта детей. Эти проблемы детально описал американский математик Моррис Клайн в книге «Почему Джонни не умеет складывать: провал «новой математики».

Почему научить считать — еще не означает научить думать

Клайн показал, что попытка преждевременно перенести абстрактные структуры университетской математики в школу без надлежащей подготовки учителей и опоры на интуитивный опыт учеников приводит к потере понимания и усложняет восприятие обществом самой цели реформы.

Так возник следующий этап образовательной истории, а именно движение Back to Basics, то есть возврат к базовым вычислительным навыкам и традиционной арифметике. Казалось, именно это требуется школе после слишком быстрых изменений предыдущего десятилетия. Но результаты такого возврата оказались неожиданными: ученики не только не начали лучше решать задачи, но и не продемонстрировали существенного улучшения даже в базовых вычислениях. Школа учила процедурам, но почти не учила мыслить. Как отмечает исследователь математического образования Алан Шенфельд в книге «Математические войны», даже после десятилетия интенсивной тренировки базовых навыков ученики продемонстрировали слабые результаты как в решении задач, так и во владении самими вычислительными процедурами.

ВАС ЗАИНТЕРЕСУЕТ

Не идет речь об образованности: почему некоторые выпускники проигнорировали математику на НМТ-2025

Когда числа есть, а смысла нет

Показательным примером того, как ученики могут выполнять математические действия без осмысления содержания задачи, является известная задача о самой большой в мире обуви, хранящейся в спортивном центре на Филиппинах. В начале 2000-х ее предлагали немецким школьникам.

Согласно Книге рекордов Гиннесса, ширина этой обуви составляет 2,37 м, а длина — 5,29 м. Учеников спросили: какого роста должен быть великан, чтобы на самом деле носить эту обувь?

monikapfaller.de/media

monikapfaller.de/media

На первый взгляд, задача простая и даже смешная. Можно ожидать, что ученики оценят реальные пропорции человеческого тела. Но несколько учеников средней школы (9 класс) решили задачу так: 2,37х5,29=12,53, то есть рост человека должен быть 12,53 м.

Этот пример демонстрирует важную проблему математического образования: ученики часто автоматически выполняют арифметические операции с числами, встречающимися в тексте задачи, даже не задумываясь, имеет ли такая операция смысл в этой ситуации. Иными словами, задача перестает быть заданием на мышление и превращается в задание «найди в тексте числа и что-то с ними сделай».

Осознание этой проблемы стало одним из важных аргументов в пользу изменений в математическом образовании: перехода от обучения по готовым алгоритмам к развитию умения решать задачи, строить математические модели реальных ситуаций и интерпретировать полученные результаты. Именно эти подходы со временем стали основой современных реформ математического образования в мире.

Ответом на них стал программный документ Национального совета учителей математики США An Agenda for Action (1980), в котором впервые на государственном уровне была сформулирована новая ключевая цель математического образования: развитие умения решать задачи (problem solving).

На первый взгляд, могло показаться, что это радикально новая идея. В действительности в некоторых странах такие подходы уже существовали. Например, в Нидерландах и Венгрии обучение через задачи, моделирование и работу с реальными ситуациями давно было составной частью школьной математической культуры. И именно здесь начинается одна из самых интересных историй современного математического образования.

Математика как мышление

В то время как во многих странах мира «новая математика» пыталась модернизировать школу путем осложнения содержания за счет введения все более сложных абстрактных структур, в Нидерландах выбрали другой путь. В 1968 году под руководством выдающегося математика и педагога Ганса Фройденталя возникла инициатива, получившая название «реалистическое математическое образование» (Realistic Mathematics Education, RME).

ВАС ЗАИНТЕРЕСУЕТ

Наверстать будет крайне трудно: психолог рассказал, почему важно, чтобы математику изучали именно до 16 лет

Фройденталь выступил с принципиально новой позицией: математика — это не готовая система знаний, которую нужно передать ученику, а человеческая деятельность, которую ученик должен открыть и освоить сам. Вокруг этих идей в Нидерландах сформировалась целая научно-образовательная школа, а в 1971 году Фройденталь основал Институт развития математического образования (сейчас Freudenthal Institute), ставший одним из ведущих центров исследования математического образования в мире.

Этот подход быстро начал изменять вид учебных материалов. В школах появлялись новые задачи: непривычные, открытые, иногда даже провокативные. Они не требовали немедленного применения готовой формулы. В то же время они ставили перед учениками вопросы, на которые необходимо было найти ответ собственным способом.

Задача о гепарде и коне

Одним из таких заданий стала известная задача о гепарде. Ученикам предлагают короткую увлекательную историю: самое быстрое животное в мире — гепард. Его ноги короче, чем у коня, но он может развивать скорость 110 км/ч за 17 секунд и поддерживать ее на расстоянии приблизительно 450 м. Но гепард быстро устает. Тогда как конь, развивающий до 70 км/ч, способен держать эту скорость значительно дольше — на расстоянии около 6 км. Можно считать, что гепард достигает максимальной скорости после преодоления 300 м.

Как-то гепард просыпается от звука копыт коня и начинает преследование в тот момент, когда конь уже имеет преимущество в 200 м. Сможет ли гепард догнать коня?

Особенность задачи о гепарде состоит в том, что она не содержит достаточного количества числовых данных для прямого вычисления результата. Именно поэтому ее решение начинается не с подстановки в формулу, а с построения математической модели ситуации.

В первую очередь необходимо учесть отличие характера движения животных: конь двигается равномерно, в то время как гепард сначала разгоняется. Простейшей моделью является предположение о равноускоренном движении гепарда на начальном участке. После достижения максимальной скорости получаем стандартную задачу на догоняние.

Впрочем, ее главная цель состоит не в нахождении определенного числового результата, а в формировании способности учеников строить математические модели реальных процессов и интерпретировать полученные результаты.

Такая постановка задачи о гепарде демонстрирует принципиальное отличие между традиционными задачами на движение и подходом реалистического математического образования: она учит не только вычислять, но и математически описывать и исследовать реальные ситуации.

Для сравнения можно рассмотреть традиционный вариант этой задачи: гепард начинает преследовать коня, имеющего первоначальное преимущество в 200 м. Скорость гепарда составляет 30 м/с, а скорость коня — 20 м/с. За какое время гепард догонит коня? На каком расстоянии от места начала преследования это произойдет?

Почему не стоит «забивать» на математику в школе. Объяснение психолога

В этом случае все параметры уже заданы. Известно, какую формулу применять. Можно ожидать один правильный ответ. Проверяют в первую очередь навыки вычисления.

Как видим, в нидерландской постановке задача работает иначе. Она не задает все параметры явным образом, а оставляет пространство для различных предположений. Она предполагает построение модели и развивает исследовательское мышление. И самое главное — она формирует понимание связи между математикой и реальностью. Именно в этом и состояла главная идея реформ: научить учеников не только считать, но и мыслить математически.

Баланс, который необходим школе

Важно подчеркнуть: прикладная направленность обучения в Нидерландах не означает отказа от математической строгости или абстракции. Наоборот, образовательная система предусматривает дифференциацию математических курсов согласно образовательным траекториям учеников.

В частности, в старшей школе предлагают разные варианты математических курсов: Wiskunde A (математика для социальных наук, статистики, анализа данных и прикладных контекстов), Wiskunde B (математика для естественных и технических специальностей с акцентом на функции, анализ и моделирование), Wiskunde C (математика для гуманитарных направлений) и Wiskunde D (углубленный курс для учеников, планирующих инженерные или математические специальности). Эта структура позволяет сочетать развитие прикладного мышления с системным овладением абстрактными математическими идеями.

Такие подходы сегодня становятся особенно актуальными и для Украины. В рамках реформы НУШ формируется новое видение математического образования как составной части более широкой идеи образования для жизни. Одним из его направлений становится концепция «Математика для жизни» — математика, начинающаяся не с формулы, а с реальности, с которой ученик сталкивается ежедневно. Реальные ситуации редко имеют вид «идеально подготовленных» задач с полным набором данных. Наоборот, они часто содержат избыточную информацию и данные или требуют уточнений и оценок. Речь идет о смещении акцента с воспроизведения правил на понимание процессов, работу с данными, моделирование и принятие решений в реальных ситуациях. Впрочем, это не отказ от математической строгости, а попытка объединить ее с практическим содержанием. Как именно это должно работать на практике — тема для отдельного разговора.