Математика: наука на мільйони?

Історія і психологія, геодезія і біологія, соціологія і філологія… Я вже не кажу про фізику, економіку чи інформаційні технології. Як тут без математики?

Проте якось так виходить, що ми не вміємо бачити ось цю математику навколо нас. Чому? Не допрацьовує наука? Щось із освітою не так? Чи, може, суспільство не готове дивуватися науці і робити власні відкриття?

Спробуймо розібратися. І нам украй потрібен добрий консультант-математик. Тож нашим провідником у цій непростій системі математичних знань буде кандидат фізико-математичних наук, співробітник факультету математики та логістики Якобського університету в м. Бремен (Німеччина), випускник Харківського національного університету ім. В.Каразіна Костянтин Драч.

Сучасне суспільство, на жаль, здебільшого сприймає математику просто як шкільний предмет (який, до речі, часто-густо не дуже зрозумілий більшості), не замислюючись над тим, що це велика серйозна наука, певна особлива мова, інструмент, який дає змогу моделювати різноманітні процеси практично в усіх сферах життя. Математика скрізь. І кожен може знайти "свою" математику.

Костянтин Драч

Цікавий приклад щодо цього наводить пан Костянтин: "Усі бачили звичайний аркуш паперу формату А4. Розмір його 210 на 297 мм. Питання: чому саме такий розмір? Річ у тому, що тут "зашита" складна математика - теорія неперервних дробів. Бо коли ми захочемо скласти цей аркуш навпіл (це вже формат А5), було б дуже добре, щоб, по-перше, він залишався схожим на А4, а по-друге, мав ті ж самі пропорції, що й попередній варіант, тобто А4. Це можна описати рівнянням, із якого випливає, що співвідношення сторін при цьому має дорівнювати квадратному кореню з двох. Але відомо, що це число не можна записати як звичайний дріб. Тому треба знайти дріб, який буде дуже схожий на корінь із двох. І ось дріб 297/210 дає наближення з точністю до чотирьох знаків. Цікаво, що, з погляду так званої теорії неперервних дробів, 297 на 210 - це так званий п'ятий підходящий дріб до неперервного дробу, який задає квадратний корінь із двох. Більше того, виявляється, що, в певному сенсі, це майже оптимальне наближення!". Якщо такі речі важко зрозуміти, нам нічого не залишається, як повірити науці і… поглянути на аркуш паперу з повагою.

Коли ми говоримо про зв'язок фізики і математики, варто згадати, скажімо, космологію, зокрема загальну теорію відносності. Вона побудована на псевдоримановій геометрії, яка описує в рамках певної фізичної моделі Великий Вибух та те, як будується Всесвіт.

Ми запускаємо об'єкти в космос. І без математичних розрахунків траєкторій польотів тут не обійтися. Геометрія!

Слід згадати великі дані (Big Data) в інформаційних технологіях. Це набори інформації величезних обсягів, із якими дуже важко працювати, структурувати їх, інтерпретувати тощо. Це і дані мобільних операторів, і банківська інформація, і соціальні медіа, і результати наукових спостережень. За прогнозами інформаційного сервісу Digital Universe, до 2020 року людство зможе нагромадити близько 40 зеттабайтів інформації. Це 40 трильйонів гігабайтів! Опанувати великі дані допомагає саме математика. Бо використовуються статистичні методи обробки даних, які дозволяють знаходити закономірності в цьому масиві інформації.

Біологія, медицина і математика. Найвідоміший приклад інтеграції цих наук - закон Гарді - Вайнберга, або закон генетичної рівноваги, який із допомогою алгебраїчних формул описує, скільки генотипів трапляється в популяції. Інакше кажучи, цілісність та стабільність популяції можна уявити, як математичну формулу, в рішенні якої найменша похибка дає серйозні зміни. Закон Гарді - Вайнберга та його узагальнення допомагають сучасній медицині краще розуміти природу спадкових захворювань. До речі, Годфрі Гарді був відомим англійським математиком, який займався теорією чисел і математичним аналізом, а Вільгельм Вайнберг - лікарем-практиком, який, з-поміж усього, вивчав генетику, зокрема мутації та популяції, і - що важливо! - вони сформулювали цей закон незалежно один від одного!

Тепер стосовно прогнозування погоди з допомогою математики. Наш консультант відзначає, що дуже важко сказати точно, якою буде погода через тиждень, пояснюючи це тим, що земна атмосфера, повітряні фронти, рухи повітряних мас - настільки складна комплексна система, що змоделювати її функціонування вкрай проблематично. Навіть наближене моделювання з допомогою, зокрема, диференційних рівнянь у частинних похідних, різних числових методів проблемне через складні та нестійкі обчислення. Бо надто багато даних. Ба більше. Якщо уявити собі щоденну погоду (наприклад, температуру) у вигляді такої собі траєкторії, то вона буде дуже нестабільною. Зробивши бодай найменшу помилку в процесі введення початкових даних, через десять днів матимемо абсолютно не ту погоду (у нашому прикладі - температуру), яка передбачалася. Тому ми можемо прогнозувати погоду більш-менш точно лише на декілька днів наперед.

Стільки прикладів... І, здається, не все так важко і безнадійно. Але ж ми, звичайні люди, все одно не бачимо тієї математики. Чому? Костянтин Драч вважає, що передовсім її бояться (зрештою, це все ж таки складна наука), і більшість людей вважає, що ліпше її уникнути, ніж мати з нею справу. Проте науковець переконаний: кожен із нас здатен зрозуміти математику краще, ніж сам про це думає. Ми в житті маємо справу з багатьма процесами і явищами, суть яких ловимо підсвідомо. І часто не обов'язково знати деталі, аби просто щиро цікавитися. Бо в нелюбові до науки загалом і математики зокрема винні насамперед ми самі, а не наука.

Тепер щодо освіти в широкому сенсі. Говорити про те, що кардинально треба змінювати систему освіти, було б неправильно й не конструктивно. Конструктивно тут звернути увагу на три моменти. По-перше, посилити роль учителя (викладача) в системі освіти. Щоб хотілося вчити твій предмет, маєш зацікавити і здивувати учня. Наприклад, подати якийсь дивовижний факт на тему чи звернути увагу на якесь зрозуміле кожному явище. І, коли інтерес виник, далі знання поглиблювати.

По-друге, більше уваги приділяти популяризації науки. Математики, як і більшість науковців, живуть за рахунок платників податків. І ці платники, ми з вами, маємо право спитати, за що й кому платимо. Бо, якщо немає публічного доступного звіту чи певних результатів від науковців, платники можуть сказати: ми не розуміємо, чому ми платимо. Тому науковцям було б незле більше уваги приділяти просвітництву та роботі з громадою, насамперед дітьми. Як варіант, писати науково-популярні статті і створювати сторінки чи блоги, де можна було б публікувати свої матеріали досліджень у популярному форматі.

Також є сенс ініціювати створення центрів, музеїв чи хоча б пришкільних куточків цікавої науки, яких сьогодні в Україні, на щастя, стає дедалі більше. Це такі осередки просвітництва, де всі експонати - у відкритому та вільному доступі. Образно кажучи, ти можеш відчути науку на дотик, і це дає можливість кожному уявити себе поважним науковцем та провести експерименти в тій чи іншій галузі знань. Мета тут одна: здивувати аудиторію чимось нестандартним і небаченим, а потім ці люди зацікавляться наукою, почнуть її поважати і вчити.

Математика - не виняток. Завжди приваблюють, скажімо, оптичні ілюзії, логіко-математичні складалки, інтерактивні дроби, міні-простори на кшталт "Геометрія в моді" чи "Мистецтво і наука оригамі". Костянтин розповів, що на власні очі бачив дітей, які "у звичайному житті" не дуже цікавилися математикою, проте із захопленням підходили до інтерактивних екранів, вводили туди рівняння поверхонь і дивилися, як ці рівняння перетворювалися на реальні об'єкти. Дітлахи їх крутили-вертіли, і для них це була справжня магія! До речі, наш консультант додає, що це був просвітницький проект громадської організації "Imaginary", штаб-квартира якої міститься в Берліні. Завданням цього проекту було показати, що рівняння - це не просто x і y. За їх значками приховані іноді досить химерні форми. Приміром, чи можете ви написати рівняння серця? Відповідь: так! А рівняння людей у поцілунку? Теж так! Ось такий цікавий вияв алгебраїчної геометрії.

По-третє, треба пробувати візуалізувати науку. Наприклад, що таке функція тангенс? Це абстракція, якої, на перший погляд, не існує в нашому світі. Але цю функцію можна матеріалізувати. І коли ти торкаєшся якогось досить незвичного предмета і знаєш, що так виглядає ось ця, здавалося б, абстрактна функція, - ставлення до науки кардинально змінюється. І тут ми маємо розказати невеличку історію.

На кафедрі фундаментальної математики факультету математики і інформатики Каразінського університету зберігається унікальна колекція гіпсових геометричних фігур, якій понад 100 років. Її створено за сприяння видатних німецьких геометрів XIX ст. Едуарда Куммера, Фелікса Клейна та Олександра фон Брила.

У 1908 р., з ініціативи відомого математика, професора Харківського університету Дмитра Синцова, з нагоди відкриття кабінету геометрії було придбано одну з перших геометричних колекцій. На сьогодні ця колекція налічує 240 гіпсових, дротяних та металевих моделей.

Варто наголосити, що більша частина колекції пережила дві світові війни. Зокрема, Другу світову - завдяки інженерам кафедри Сидору Шуляченку та його дружині Марії. І, безумовно, після такої історії хочеться продовжити життя цій колекції. У 2016 р. Костянтин Драч заснував інтернет-проект "TouchGeometry - Доторкнись до геометрії" при Каразінському університеті, що має на меті популяризацію геометрії з допомогою цієї унікальної колекції. Повірте, вражають не лише форми. Вражають навіть назви експонатів. "Цикліда Дюпена", "Конфокальні квадрики", "Графік ρ-функції Вейєрштраса", "Еліпсоїд із трьома осями симетрії", "Просторова евалюта поверхні 2-го порядку"… До речі, одну з поверхонь останнього типу називають "Ромео і Джульєтта" завдяки циклу картин відомого художника Мана Рея, присвячених колекції гіпсових моделей геометричних фігур, що зберігається в математичному Інституті імені Анрі Пуанкаре в Парижі. Майстер настільки був вражений формами моделей цієї колекції, що намалював серію картин під назвою "Шекспірівські рівняння". Це було в 30-х XX ст.! Ось така арт-математика!

…Останнє моє запитання до Костянтина. Трохи неформальне: "Чи можна з допомогою науки, зокрема математики, стати мільйонером?" Мій співрозмовник усміхнувшись сказав: "Так! Треба просто розв'язати одну з поки що нерозв'язаних задач, які так і називаються: проблеми на мільйон, або проблеми тисячоліття. Тобто після розв'язання кожної з них американський Математичний інститут Клея виплатить нагороду, яка дорівнює одному мільйону доларів США. Звісно, після належної перевірки рішення.

Одна з проблем пов'язана з так званою дзета-функцією Рімана. Вам треба зрозуміти, в яких точках ця функція дорівнює нулю. Такі точки називаються коренями функції (дзета-функція Рімана - це функція комплексного змінного). Ця функція має тривіальні корені -2, -4, -6 і т. д. Якщо ви зможете довести, що всі нетривіальні (тобто решта) дзета-функції лежать на прямій, де дійсна частина дорівнює одній другій, ви отримаєте мільйон доларів.

Або інша задача, більш прикладного характеру. Є таке рівняння, яке називається рівняння Нав'є-Стокса. Воно моделює потоки рідин. Питання в тому, чи має воно розв'язок та які властивості цього розв'язку. У математиці часто буває, що "якийсь" розв'язок знайти легко. Просто треба дати підходяще визначення поняттю "розв'язок". Проте чи існує в цього рівняння гарний, гладкий розв'язок? Треба довести або спростувати, що таке рішення існує. І ось у вас уже два мільйони доларів!..

Науковці, математики - своєрідний народ. Річ для них не в грошах. Має бути внутрішній інтерес. І найчастіше багатство полягає в тому, чи знаєш ти відповідь на те або інше запитання, чи ні. І чим більше маєш відповідей, тим ти багатший!".