Абрикосів був академіком Російської академії наук, а також членом Національної академії наук США і Лондонського королівського товариства. У 1991 році він виїхав до США, де викладав в Університеті Іллінойсу і в Університеті штату Юта. У 1999 році вчений прийняв американське громадянство.
У 2003 році Абрикосів спільно з Віталієм Гінзбургом і Ентоні Леггетом отримав Нобелівську премію – "за основоположні роботи з теорії надпровідників і надплинних рідин".