Как упаковать шары. Работа украинского математика стала мировой сенсацией

15 марта с.г. на препринтном сервере arxiv.org было опубликовано решение задачи, над которой ломали головы лучшие математики мира, - найдена оптимальная упаковка единичных сфер в восьмимерном пространстве. Автор решения - украинский математик Марина Вязовская, выпускница механико-математического факультета КНУ им. Шевченко, ныне работающая в Германии. До сих пор соответствующие результаты были получены лишь для пространств размерности 1 (прямой линии), 2 (плоскости) и 3 (геометрической модели пространства, в котором мы живем).

Это только препринт, т.е. не рецензированная публикация (после опубликования препринтов статьи обычно отправляют в рецензированные научные журналы). Однако публикации на этом сервере сразу же читаются специалистами, и уже 21 марта информация о решении знаменитой задачи появилась в блоге американского математика Фрэнка Моргана в газете The Huffington Post. Затем была опубликована статья в журнале Der Spiegel, и появилось еще несколько публикаций в мировой печати, иллюстрированных фотографиями горок разных круглых фруктов и другими яркими рисунками.

Несмотря на отсутствие формального рецензирования публикации, специалисты, прочитавшие ее, соглашаются, что доказательство правильное. Американский научно-популярный журнал Quanta (30 марта 2016 г.) приводит мнение Питера Сарнака из Принстонского университета: "Это доказательство необычайно простое, как и все выдающиеся работы". Доказательство, конечно, недостаточно простое для того, чтобы его описывать в газете, впрочем, отметим, что оно использует теорию модулярных форм, применяемой и для доказательства теоремы Ферма.

В той самой статье в журнале Quanta описывается также история работы над данной проблемой. Над ней начинали совместно работать украинские математики Андрей Бондаренко (в настоящее время работает в Норвежском университете естественных наук и технологий в Тронхейме), Даниил Радченко (работает в Математическом институте Макса Планка в Германии) и Марина Вязовская. Однако Андрей и Даниил впоследствии переключились на другие задачи, а Марина считала эту задачу "своей" и продолжала работу.

Задачу оптимальной (наиболее плотной) упаковки сфер одинакового радиуса в трехмерном пространстве поставил известный астроном Иоганн Кеплер в 1611 г. в связи с поиском лучшего способа транспортировки пушечных ядер на корабле. В двумерном пространстве (т.е. на плоскости) решение задачи оптимальной упаковки окружности довольно очевидно - это конфигурация "пчелиные соты", хотя доказательство этого вовсе неочевидно и было найдено лишь в
1940 г. Гипотезу Кеплера для трехмерного пространства доказал Томас Хейлс (с помощью компьютера) только в 1998 г. Тогда такой метод получения математического результата сам по себе был сенсацией. Формальное доказательство (полученное также с помощью компьютера) было опубликовано только в 2015 г.

Доказательство, предложенное Мариной Вязовской, - это всего 21 страница формул и расчетов. На основе ее работы 21 марта Генри Кон, Абинав Кумар, Стивен Миллер, Даниил Радченко и Марина Вязовская опубликовали аналогичный результат для 24-мерного пространства. Самая плотная упаковка сфер в 8-мерном пространстве определяется кристаллической решеткой Е8, в 24-мерном пространстве - решеткой Лича. Эта решетка была построена британским математиком Личем в связи с т.н. кодом Голея (код с исправлением ошибок), который использовался для передачи космическим аппаратом "Вояджер" фотографий с Юпитера и Сатурна.

Интерес к задачам оптимальной упаковки в двух- и трехмерном пространстве очевиден - это важно не только для логистики пушечных ядер или апельсинов, но и для кристаллографии, химии, нанотехнологий. Но хотя восьми- и 24-мерные пространства, не исключено, покажутся далеким от математики людям ненужной абстракцией, полученные результаты для многомерных пространств могут применяться в весьма неожиданных областях - от теории струн в теоретической физике до теории передачи информации (кодирование с исправлением ошибок). Но прежде всего это доказательство очень важно для многих областей самой математики.