Абрикосов являлся академиком Российской академии наук, а также членом Национальной академии наук США и Лондонского королевского общества. В 1991 году он уехал в США, где преподавал в Университете Иллинойса и в Университете штата Юта. В 1999 году ученый принял американское гражданство.
В 2003 году Абрикосов совместно с Виталием Гинзбургом и Энтони Леггетом получил Нобелевскую премию – "за основополагающие работы по теории сверхпроводников и сверхтекучих жидкостей".