Під час війни його разом з іншими ленінградськими дітьми евакуювали в Молотовську область. З 1945 року М. Козаков навчався в Ленінградському хореографічному училищі.
Після закінчення школи у 1952 році він вступив до школи-студії МХАТ. Навчаючись на останньому курсі, дебютував в кіно, знявшись у ролі Шарля Тібо в політичній драмі "Вбивство на вулиці Данте ". У 1956 році закінчив Школу-студію МХАТ.
Потім влаштувався на роботу в Театр імені В. Маяковського, де пропрацював з 1956 по 1959 рік. Потім грав у театрі "Современник" до 1970 року, у МХАТ (1971-1972), у Театрі на Малій Бронній (1972-1981) і в Ленкомі з 1986 року.
М. Козаков зіграв більше 70 ролей у фільмах. Серед найвідоміших картин з його участю: "Людина-амфібія", "Звичайна історія", "Солом'яний капелюшок ", "Безіменна зірка", "Покровські ворота", "Дурні вмирають по п'ятницях" тощо.
Як режисер М. Козаков зняв стрічки: "Безіменна зірка", "Покровські ворота", "Візит дами".
У 1991 році М. Козаков переїхав до Ізраїлю. Протягом чотирьох років грав на івриті в Тель-Авівському камерному театрі; крім того, створив російську трупу (антрепризу), з якої підготував чотири вистави.
