Во время войны его вместе с другими ленинградскими детьми эвакуировали в Молотовскую область. С 1945 года М.Козаков учился в Ленинградском хореографическом училище.
По окончании школы в 1952 году он поступил в школу-студию МХАТ. Учась на последнем курсе, дебютировал в кино, снявшись в роли Шарля Тибо в
политической драме "Убийство на улице Данте". В 1956 году окончил Школу-студию МХАТ.
Затем поступил на работу в Театр имени В. Маяковского, где проработал с 1956 по 1959 год. Затем играл в театре "Современник" до 1970 года, во МХАТ (1971-1972), в Театре на Малой Бронной (1972-1981) и в Ленкоме с 1986 года.
М.Козаков сыграл более 70 ролей в фильмах. Среди самых известных картин с его участием: "Человек-амфибия", "Обыкновенная история", "Соломенная шляпка", "Безымянная звезда", "Покровские ворота", "Дураки умирают по пятницам" и др.
Как режиссер М.Козаков снял ленты: "Безымянная звезда", "Покровские ворота", "Визит дамы".
В 1991 году М. Козаков переехал в Израиль. В течение четырех лет играл на иврите в Тель-Авивском камерном театре; кроме того, создал русскую труппу (антрепризу), с которой подготовил четыре спектакля.
