На математическом Эвересте кипят страсти

Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, но отказался от медали Филдса
за это свершение. Получит ли он другую награду — миллион долларов от Института Клея?

В 1904 году выдающийся французский математик Анри Пуанкаре сформулировал гипотезу: любое трехмерное компактное односвязное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Тем самым этот известный своей рассеянностью ученый подбросил человечеству невероятную головоломку о свойствах трехмерных многообразий, включая самое большое из тех, что нам известно, — нашу Вселенную. Над доказательством его гипотезы в течение столетия бились лучшие геометры мира. Пуанкаре стал основателем топологии — раздела математики, изучающего наиболее общие свойства геометрических фигур, не изменяющиеся при любых непрерывных преобразованиях фигур.

«Медаль Филдса
его ждет»…

Доказать одну из величайших гипотез математики и тем самым превратить ее в теорему удалось 40-летнему Григорию Перельману из Санкт-Петербурга. По мнению специалистов, благодаря этому он встал в один ряд с величайшими гениями прошлого и настоящего.

Человечество готово было рукоплескать победителю и вручить ему медаль имени канадского ученого Филдса, являющуюся наиболее престижной наградой Международного союза математиков. Поскольку математика не фигурирует в списке Нобелевского комитета, эта награда имеет неофициальный статус, соответствующий одноименной премии. Получить ее могут ученые, не достигшие 40 лет, поскольку она предназначена не только за признание прошлых заслуг, но и для поощрения новых свершений. Раз в четыре года ее вручают лучшим из лучших на Международном математическом конгрессе.

В августе нынешнего года очередной конгресс состоялся в Мадриде. В торжественной обстановке медали вручал король Испании Хуан Карлос. Всего лауреатов было четверо, из них двое россиян — Григорий Перельман и работающий в США Андрей Окуньков, а также немец Венделин Вернер (работает во Франции) и работающий в США австралиец Теренс Тао. Однако Григорий, в отличие от остальных лауреатов, не явился на церемонию и даже не ответил на соответствующее приглашение. Председателю IMC Джону Боллу, который специально приезжал перед конгрессом к нему в Петербург, Перельман сказал, что отказывается принимать Филдсовскую медаль, поскольку ушел из математики и находится «вне международного математического сообщества».

Шокировавший математическое сообщество отказ Перельмана от аналога Нобелевской премии стал мировой сенсацией, поскольку за все 70 лет было вручено всего лишь 44 медали Филдса, и никто никогда от нее не отказывался.

Почему россиянин не приехал в Мадрид? Почему отказался от престижной награды? Почему не объяснил научному сообществу мотивы своего отказа? Перельману и его поступку было посвящено немало статей в различных изданиях мира, в том числе, в Daily News of ICM-2006 — информационном бюллетене Международного математического конгресса-2006. Здесь было опубликовано, в частности, интервью с Джоном Боллом на эту тему.

— Что было для вас самым трудным при подготовке к церемонии (вручения медалей. — Авт.)? — спросили его журналисты.

— Работа над необычным стечением обстоятельств, которые окружают решение Перельмана не принимать медаль.

— Это, несомненно, сенсация. На ваш взгляд, не будет ли грустно для математики, если он не согласится?

— Для математики — нет. Возможно, хотя и не обязательно, грустно может быть ему. Я надеюсь, он все-таки найдет возможность продолжать занятия математикой и ощутит себя частью сообщества.

— Как вы думаете, может он передумать (бросать занятия математикой. — Авт.)?

— Не знаю, но если это случится, медаль его все равно ждет».

Мяч, бублик и Вселенная

Прежде чем рассказать о событиях, которые предшествовали этому казусу с медалью, несколько слов о самой «виновнице торжества» — гипотезе Пуанкаре. Понятно, что для неспециалиста две строки гипотезы звучат подобно китайской грамоте.

В крайне упрощенном виде задача сводится к тому, что любая трехмерная поверхность, на которой любую замкнутую петлю можно «стянуть» в точку на этой поверхности, эквивалентна сфере. Так, например, если мысленно представить колечко из нитки, лежащее на поверхности мяча и начать уменьшать радиус этого кольца по принципу лассо, то точка, в которую в конце концов стянется нитка, все равно останется лежать на поверхности мяча. Но если то же самое проделать с бубликом, то точка в конце концов «провалится» в дырку. А если обернуть колечко вокруг дужки бублика, то стянуть его в точку, не нарушая целостности бублика, вообще не удастся. В таких случаях говорят, что поверхность мяча односвязна, а бублика — двухсвязна.

К 60-м годам ХХ века топология стала одной из наиболее продуктивных отраслей математики, и топологи то и дело бросали вызов гипотезе Пуанкаре. В представлении многих специалистов она стала своего рода святым Граалем — как в силу того большого влияния, которое эта гипотеза оказывает на математику и космологию, так и потому, что в течение столь долгого времени разгрызть этот орешек до конца не удавалось никому. Вокруг гипотезы сформировалась целая отрасль математики. За прошедшие годы ученые получали различные награды математического сообщества, в том числе и медали Филдса не за окончательное решение, а только за «значительные продвижения» в этой проблеме.

Дело в том, что многообразия четырех, пяти и более измерений гораздо легче поддались изучению, чем те, что имеют всего три размерности. К 1982 году гипотеза была доказана для всех случаев, кроме трехмерного. (В случае, когда размерность многообразия больше трех, аналоги гипотезы Пуанкаре были доказаны в работах Смейла и Фридмана.) Как признался на конгрессе Джон Морган, глава математического факультета Колумбийского университета (США), вся его жизнь проходила под знаком задачи Пуанкаре, но он и подумать не мог, что ему доведется увидеть ее полное решение — казалось, что это не под силу никому. Ближе всего подошел к решению американский математик Ричард Гамильтон, который в течение 25 лет разрабатывал так называемую теорию потоков Риччи, которая легла в основу доказательства Перельмана.

Но выйти из тупика удалось Перельману. Эта дорога заняла у него восемь лет.

Долой академические стандарты?

Поначалу жизнь Григория текла по накатанному руслу математически одаренного ребенка. Он окончил знаменитую ленинградскую СШ № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников стал победителем Международной математической олимпиады в Будапеште и был награжден золотой медалью. В 16 лет без экзаменов зачислен в Ленинградский госуниверситет. После его окончания поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.Стеклова. Публиковал статьи в ведущих научных журналах России и США. Защитил кандидатскую диссертацию.

Кстати сказать, для получения внешнего отзыва на диссертацию Перельман приезжал в Харьков, известный своей научной школой академика Александра Погорелова в области геометрии, и получил такой отзыв в отделе геометрии Физико-технического института низких температур им. Веркина НАН Украины.

В 1992 году после защиты диссертации Перельмана пригласили провести по семестру в Нью-Йоркском университете и Университете Стони Брук (США). Раз в неделю он посещал также семинары по топологии, проходившие в Институте специальных исследований в Принстоне. Здесь петербуржец впервые встретился с Ричардом Гамильтоном. Год спустя Григорий получил право на двухгодичную стажировку в Беркли (США), куда с лекциями приезжал и Гамильтон. Во время пребывания в США Перельман написал несколько оригинальных статей и получил лестные предложения работы из Стенфорда, Принстона, Института специальных исследований и Тель-Авивского университета. Однако он не принял ни одно из них, и вернулся в Санкт-Петербург, как потом стало ясно, чтобы продолжить работу над гипотезой Пуанкаре. Он говорит, что нигде ему не работается так хорошо, как в России. Появление Интернета позволило Перельману работать в одиночку, продолжая в то же время пользоваться знаниями других.

— Перельман работал над статьями Гамильтона и провел по ним несколько семинаров, — рассказывал журналистам коллега бывший Григория по Институту им. Стеклова Михаил Громов, работающий сейчас во Франции в Институте высших научных исследований. — Ему не нужна была ничья помощь. Ему нравилось работать самостоятельно. Он напоминает мне Ньютона — своей одержимостью идеей, желанием работать одному, безразличием к мнению других людей. Ньютон был просто несносен. Гриша, конечно, более приятный человек, но — совершенно одержимый.

Доказав гипотезу Пуанкаре, Перельман не отослал свою работу в математический журнал, как это делается обычно, где эксперты дают заключение — является ли доказательство полным, корректным и оригинальным, и только потом статья идет в печать. Без какой-либо экспертизы Перельман разместил свое доказательство в Интернете на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории (www.arxiv.org). Этот сайт используется математиками для публикации препринтов — материалов, ожидающих публикации в специализированных изданиях. Один препринт под названием «Формула энтропии для потоков Риччи и ее геометрические приложения» был выложен им в сентябре 2002 года, а еще через несколько месяцев, в 2003 году, — еще два препринта.

Потом ученый разослал текст доказательства десяти специалистам из США, которые тоже работали над гипотезой, в том числе Гамильтону и двум математикам китайского происхождения — Тяну и Яу, с обращением — «Позвольте представить вашему вниманию мою статью». Если бы в доказательстве были обнаружены ошибки, ему грозил бы публичный позор, к тому же, по существующим правилам, ничто не помешало бы другому математику исправить обнаруженные недочеты и объявить о своем приоритете.

Само доказательство Перельмана тоже выглядело необычным. Оно было очень коротким, конспективным, с массой сокращений. Логические цепочки, которые могли бы быть развернуты в многостраничные объяснения, сжаты до предела. Полного доказательства во всех деталях, в том числе в чрезвычайно важных местах решения, он не представил, из-за чего даже специалисты не могли сразу понять и оценить работу. Зато его статьи содержали массу интереснейших результатов, не имевших отношения к основной теме.

Объясняя гения…

Из-за сложности доказательства и конспективности изложения работа Григория была чрезвычайно уязвима и дала повод другим математикам активно претендовать на авторство. Конечно, никто не идеализирует научный мир вообще и математическое сообщество в частности. В этой сфере человеческой деятельности работают такие же обуреваемые страстями люди, как и везде, и в ней тоже есть место не только подвигу. Битва да деньги, престиж и власть началась здесь, как и везде, не вчера и, увы, не закончится завтра.

Так, известный ученый Шин-Тун Яу, профессор математики в Гарварде и директор математических институтов в Пекине и Гонконге, отдавал Перельману только 25% успеха в решении гипотезы Пуанкаре, остальное он распределил между Ричардом Гамильтоном и своими двумя учениками — Си-Пинь Чжу и Хуай-Донг Као. Он заявил, что в работе Перельмана, несомненно, блестящей, многие ключевые аспекты доказательства представлены схематично, некоторые лишь обозначены, а некоторые просто отсутствуют. И что его ученики опубликовали самостоятельное доказательство этой гипотезы, опираясь на работы Перельмана точно так же, как тот опирался на работы Гамильтона.

Развязавшаяся дискуссия показала, что многие математики рассматривают поведение Яу в случае с гипотезой Пуанкаре как нарушение этики, и беспокоятся о том ущербе, который был нанесен математике в целом. Проблема состояла в том, что очень немногие специалисты имели достаточный уровень знаний и квалификацию, чтобы суметь оценить и защитить авторство Перельмана. Даже Гамильтон говорил, что доказательство «трудно понять», и некоторые места скорее похожи на «набросок» (хотя и добавил, что он с «огромным восхищением» относится к работе Перельмана).

Три ведущих математика мира — Тян, Лотт и Кляйнер — четыре года проводили скрупулезный процесс объяснения доказательства, шаг за шагом проверяя его логику, и вынесли вердикт: проблема Пуанкаре разрешена благодаря Перельману и его доказательства корректны. Работа Чжу и Као детализирует Перельмана, но не содержит принципиальной новизны. Конечно, пользуясь выражением Ньютона, Перельман «стоял на плечах гигантов», в частности Гамильтона, но он, несомненно, видел намного дальше, чем другие.

Недавно Тян совместно с другим американским математиком Морганом подготовил монографию, где были заполнены все лакуны в конспективном доказательстве Перельмана. Она должна была послужить руководством для других математиков, пытающихся понять логику доказательства гипотезы. Показательно, что если три препринта Григория заняли всего около 60 страниц, то труд Тяна и Моргана по их разъяснению «весил» уже 473 страницы. (Кстати, на изучение доказательства Перельмана Национальный фонд науки США выделил специалистам около миллиона долларов в виде грантов.)

— Я много раз сталкивался с тем, что, читая Перельмана, ловил себя на мысли, что не понимаю ни слова, — откровенно сказал Джон Морган на пресс-конференции в Испании. (Интервью с ним было опубликовано в бюллетене Международного математического конгресса. — Авт.). — Я шел домой и думал над этим. Если не понимал, то разговаривал с Гамильтоном, другими математиками. Когда же, наконец, я понимал, что это значит — спустя часы, дни, иногда недели — я спрашивал себя: «О’кей, если мне надо объяснить эти основные тезисы в одном параграфе, как я это сделаю?» Так повторялось вновь и вновь. Я ни разу не нашел параграфа, который Перельман изложил иначе, чем как невероятно сжатое описание аргументов.

— Вы встречались с Перельманом? — спросили Моргана журналисты.

— Я встречался с ним, когда он приезжал в 2003 году в Америку, чтобы объяснить свои идеи. …После того как он вернулся в Россию, я переписывался с ним по электронной почте, пытаясь понять его работу. Он всегда был очень приветлив и терпелив, объясняя свои идеи.

— Можете ли вы сказать, что он гений?

— Я не употребляю таких слов. Он невероятно талантливый, сильный и с огромной интуицией математик. То, что он сделал, отражение его невероятной силы.

— Вы, наверное, потратили немыслимое количество времени на доказательство Перельмана.

— Да, и на это у меня было три причины. Первая — я сам тополог, и потому хотел понять решение наиболее фундаментальной проблемы топологии. Как же этот парень сделал это? Вторая — когда я начал понимать аргументы, я все более проникался красотой доказательства. И третья — я хотел принести пользу математическому сообществу, я хотел, чтобы топологи смогли понять такое прекрасное доказательство. Но если б я знал, какое количество работы мне предстоит, возможно, два года назад я выбрал бы другую дорогу.

Мистер Икс

Что же делал в это время Григорий Перельман? Как он, в полной мере осознающий, какого высочайшего уровня задачу решил, реагировал на поднявшуюся шумиху?

Он не участвовал в дискуссии об авторстве, его контакты с коллегами были сведены к минимуму, а журналистов он избегал. Судя по всему, одно из немногих, может быть, даже единственное интервью, в котором петербургский математик немного приоткрыл свой внутренний мир, Григорий дал американским научным журналистам Сильвии Насар и Дэвиду Грубберу. Оно было публиковано 21 августа этого года в «Нью-Йоркере» под заголовком «Многообразная судьба. Легендарная задача и битва за приоритет».

«Григорий Перельман и в самом деле настоящий отшельник, — пишут американцы. — В декабре прошлого года он уволился из института математики им. Стеклова в Санкт-Петербурге и нигде не работает. Он живет со своей матерью в квартире на окраине города. Несмотря на то, что он никогда прежде не соглашался на интервью, он был сердечен и искренен с нами, когда в конце июня мы нанесли ему визит».

Правда, интервью тоже проходило своеобразно — во время четырехчасовой пешей экскурсии по городу, которую Григорий устроил журналистам, а потом на конкурсе вокалистов, проходившем в Петербургской консерватории, где они вместе провели около пяти часов. Тем не менее Сильвии и Дэвиду удалось задать свои вопросы и на некоторые из них получить ответы. В частности, Перельман сказал им, что медаль Филдса его совершенно не интересовала: «Всем понятно, что если доказательство верно, то никакого другого признания заслуг не требуется. …Некоторым людям просто требуется время, чтобы осознать: великая гипотеза Пуанкаре перестала быть гипотезой». Григорий упомянул об одном эпизоде из прошлого, когда у него произошел спор с коллегой по поводу авторства одного доказательства. Тогда его «…привели в ужас расплывчатые представления об этике, царившие в математике».

«Я решил, что для меня будет правильным не участвовать в процессе верификации доказательства и во всех этих обсуждениях, — сказал Григорий американцам. — Мне было важно не вмешиваться в процесс. Ничто из того, что я могу сказать, не имеет ни малейшего общественного интереса. Я говорю так не потому, что не хочу вмешательства в свою жизнь или хочу что-то скрыть. Я просто думаю, что не интересен публике.

Что это? Идеализм? Предельные требования к этичности в сфере науки? Реакция гения, оскорбленного недостойной возней вокруг авторства? Американские журналисты приводят любопытную параллель. Перельман любит ходить на оперные представления в Мариинском театре в Санкт-Петербурге. С того места, где он любит сидеть — на самом верху, на галерке, — нельзя разглядеть выражения лиц исполнителей или детали их костюмов. Но Григория интересуют только их голоса, по его словам, акустика там, где находится его место, лучшая в театре. С похожей отстраненностью Перельман взирает на науку и на большую часть окружающего мира», — делают вывод американцы.

…В 1637 году П.Ферма написал на полях книги, что решил теорему, но найденное им остроумное решение слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал. Попытки ее доказать положили начало многим исследованиям в теории чисел. Доказана теорема Ферма была только в 1994 году математиком Эндрю Уайлесом.

«Те, кто занимается чистой математикой, любят вызов, — писал тогда Уайлес. — Они в восторге от нерешенных проблем. Когда вы занимаетесь математикой, вами овладевает великое чувство. Вы начинаете с проблемы, которая представляет для вас полную загадку. Вы ее не можете понять, настолько она сложна. Вы не имеете ни малейшего понятия о том, как к ней подступиться. Но вот наконец вам удается решить ее, и вас охватывает непередаваемое ощущение ее красоты, изящества и соразмерности детали и целого».

Возможно, это непередаваемое ощущение охватило после завершения работы и Григория Перельмана. Тем больше был контраст между этим чувством и последующей возней коллег вокруг приоритета и соответствия-несоответствия оформления доказательства формальным стандартам. В конце концов, еще в 1830 году Александр Сергеевич Пушкин, тоже петербуржец, написал стихотворение «Поэту»:

…Ты царь: живи один. Дорогою свободной

Иди, куда влечет тебя свободный ум,

Усовершенствуя плоды любимых дум,

Не требуя наград

за подвиг благородный.

Они в самом тебе.

Ты сам свой высший суд;

Всех строже оценить

умеешь ты свой труд.

Ты им доволен ли, взыскательный

художник?

Доволен? Так пускай толпа его бранит

И плюет на алтарь,

где твой огонь горит,

И в детской резвости колеблет

твой треножник.

Millennium Prize Problems

В 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже Дэвид Гилберт изложил список из 23 математических проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. На сегодняшний день 21 проблема из этого списка уже решена.

В конце ХХ века математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на следующее, ХХI столетие. Так, в мае 2000 года эксперты Математического института Клея (Кембридж, Массачусетс, США) отобрали семь важнейших проблем современной математики, по числу миллионов долларов, выделенных на премии основателем института, бостонским миллионером Клеем. В этот список, получивший название Millennium Prize Problems, вошла и гипотеза Пуанкаре. Соответственно за ее доказательство Перельману должен быть присуждена приз в один миллион долларов.

Однако не все так просто. Сейчас никто не может с уверенностью предсказать, как поступит призовой комитет Института Клея. Если медаль Филдса могли вручить за расплывчатый «огромный вклад в решение задачи Пуанкаре» и с целью поощрения дальнейшего развития, то премия Клея означает, что награждаемый прямо признается человеком, окончательно и бесповоротно решившим задачу. Будет ли институт ввязываться в «битву за приоритет»? Допустим, рассуждают специалисты, премию могли бы поделить между Гамильтоном и Перельманом, но что делать в случае, если китайцы заявят протест?

К тому же, согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института, любая работа, претендующая на приз, должна отвечать нескольким условиям. Она должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем международную репутацию, выдержать двухлетний период после публикаций, а также в целом одобрена математическим сообществом. Только после этого ученый совет вносит свои рекомендации на рассмотрение директоров института. Как видим, в случае с Перельманом не все эти условия соблюдены.

«Закроет» ли призовой комитет глаза на отсутствие публикации доказательства в специализированном журнале? Примет ли Перельман приз? С него станется отказаться от миллиона долларов так же, как и от медали Филдса, и поставить Институт Клея в неловкое положение. Во всяком случае, американским журналистам он заявил, что не будет принимать никакого решения до тех пор, пока награда не будет предложена. Многие математики считают, что и здесь нужно поступить, как с медалью Филдса, — ее присудили Перельману, основываясь на его достижениях, не принимая во внимание возможную реакцию.

Каким будет решение призового комитета Института Клея? Когда оно будет принято? И главное, действительно ли один из выдающихся математиков столетия уйдет из математики, как он заявил? Ответы на эту задачу пока неизвестны.

P.S. Автор статьи выражает благодарность за консультации при написании этой статьи старшему научному сотруднику отдела геометрии ФТИНТ им.Б.Веркина НАН Украины, кандидату физико-математических наук,
В.Горькавому, заведующему отделом геометрии ФТИНТ им. Б.Веркина НАН Украины, доктору физико-математических наук Ю.Аминову и заведующему кафедрой геометрии Харьковского национального университета доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту НАН Украины А.Борисенко, который считает, что, собственно говоря, не важно, получит ли Перельман Филдсовскую премию и миллион долларов или нет.

«Важно то, что мы продвинулись в понимании строения трехмерных многообразий, а значит, и объемлющего трехмерного пространства, — пишет он в статье «Гипотеза Пуанкаре и гипотеза Терстона» в журнале Universitates. — Но это не означает, что мы покорили самую высокую вершину. Отличие географии от геометрии состоит в следующем: если мы покорили Эверест, то более высокой вершины на Земле не найдешь, а в геометрии после покорения вершины (решения проблемы) возникают новые проблемы, более трудные, которые будут штурмовать новые поколения математиков».