История и психология, геодезия и биология, социология и филология… Я уже не говорю о физике, экономике или информационных технологиях. Как здесь без математики?
Но как-то так получается, что мы не умеем видеть вот эту математику вокруг нас. Почему? Не дорабатывает наука? Что-то с образованием не так? Или, может, общество не готово удивляться науке и делать собственные открытия?
Попробуем разобраться. Для этого нам нужен хороший консультант-математик. Нашим провожатым в этой непростой системе математических знаний будет кандидат физико-математических наук, сотрудник факультета математики и логистики Якобского университета в г. Бремен (Германия), выпускник Харьковского национального университета им. В.Каразина Константин Драч.
Современное общество, к сожалению, чаще всего воспринимает математику просто как школьный предмет (который, кстати, зачастую не очень понятен большинству), не задумываясь над тем, что это большая серьезная наука, определенный особый язык, инструмент, дающий возможность моделировать разнообразные процессы практически во всех сферах жизни. Математика везде. И каждый может найти "свою" математику.
Интересный пример приводит г-н Драч: "Все видели обычный лист бумаги формата А4. Размер его - 210 на 297 мм. Вопрос: почему именно такой размер? Дело в том, что здесь "зашита" сложная математика - теория непрерывных дробей. Потому что, если мы захотим сложить этот лист пополам (это уже формат А5), было бы очень хорошо, чтобы, во-первых, он оставался похожим на А4, а во-вторых, имел те же пропорции, что и предыдущий вариант, т.е. А4. Это можно описать уравнением, из которого вытекает, что соотношение сторон при этом должно равняться квадратному корню из двух. Но известно, что это число нельзя записать как обычную дробь. Поэтому надо найти дробь, которая будет очень похожа на корень из двух. И вот дробь 297/210 дает приближение с точностью до четырех знаков. Интересно, что с точки зрения т.н. теории непрерывных дробей, 297 на 210 - это т.н. пятая подходящая дробь к непрерывной дроби, которая задает квадратный корень из двух. Более того, оказывается, что в определенном смысле это почти оптимальное приближение!". Если такие вещи трудно понять, нам ничего не остается, как поверить науке и… взглянуть на лист бумаги с уважением.
Когда мы говорим о связи физики и математики, следует вспомнить, скажем, космологию, в частности общую теорию относительности. Она построена на псевдоримановой геометрии, которая описывает в рамках определенной физической модели Большой Взрыв и то, как строится Вселенная.
Мы запускаем объекты в космос. И без математических расчетов траекторий полетов здесь не обойтись. Геометрия!
Необходимо вспомнить большие данные (Big Data) в информационных технологиях. Это наборы информации огромных объемов, с которыми очень трудно работать, структурировать их, интерпретировать и т.п. Это и данные мобильных операторов, и банковская информация, и социальные медиа, и результаты научных наблюдений. По прогнозам информационного сервиса Digital Universe, до 2020 г. человечество сможет накопить около 40 зеттабайтов информации. Это 40 триллионов гигабайтов! Овладеть большими данными помогает именно математика, поскольку используются статистические методы обработки данных, позволяющие находить закономерности в этом массиве информации.
Биология, медицина и математика. Очень известный пример интеграции этих наук - закон Харди-Вайнберга, или закон генетического равновесия, который с помощью алгебраических формул описывает, сколько генотипов встречается в популяции. Иначе говоря, целостность и стабильность популяции можно представить как математическую формулу, в решении которой наименьшая погрешность дает серьезные изменения. Закон Харди-Вайнберга и его обобщения помогают современной медицине лучше понимать природу наследственных заболеваний. Кстати, Годфри Харди был известным английским математиком, занимавшимся теорией чисел и математическим анализом, а Вильгельм Вайнберг - врачом-практиком, который, среди прочего, изучал генетику, в частности мутации и популяции, и - что важно - они сформулировали этот закон независимо друг от друга.
Теперь относительно прогнозирования погоды с помощью математики. Наш консультант отмечает, что очень трудно сказать точно, какой будет погода через неделю, объясняя это тем, что земная атмосфера, воздушные фронты, движения воздушных масс - настолько сложная комплексная система, что смоделировать ее функционирование крайне проблематично. Даже приближенное моделирование с помощью, в частности, дифференциальных уравнений у частных производных, разных числовых методов проблемно из-за сложных и неустойчивых вычислений. Потому что слишком много данных. Более того, если представить себе ежедневную погоду (например, температуру) в виде некой траектории, то она будет очень нестабильной. Сделав хотя бы самую маленькую ошибку в процессе введения начальных данных, через десять дней будет уже абсолютно не та погода (в нашем примере - температура), чем предполагалась. Поэтому мы можем прогнозировать погоду более или менее точно только на несколько дней наперед.
Столько примеров... И, кажется, не все так трудно и безнадежно. Но мы ведь обычные люди, все равно не видим этой математики. Почему? Константин Драч считает, что прежде всего ее боятся (в конце концов, это все же сложная наука), и большинство людей считает, что лучше ее избежать, чем иметь с ней дело. Но ученый убежден: каждый из нас способен понять математику лучше, чем сам об этом думает. Мы в жизни имеем дело со многими процессами и явлениями, суть которых ловим подсознательно. И часто не обязательно знать детали, а просто искренне интересоваться. Потому что в нелюбви к науке в целом и к математике в частности виноваты прежде всего мы сами, а не наука.
Теперь относительно образования в широком смысле. Говорить о том, что кардинально надо менять систему образования, было бы неправильно и не конструктивно. Конструктивно здесь обратить внимание на три момента.
Во-первых, усилить роль учителя (преподавателя) в системе образования. Чтобы хотелось учить твой предмет, надо заинтересовать и удивить ученика. Например, подать какой-то удивительный факт на тему или обратить внимание на какое-то понятное каждому явление. И, если интерес возник, далее знания углублять.
Во-вторых, больше внимания уделять популяризации науки. Математики, как и большинство ученых, живут за счет налогоплательщиков. И эти плательщики, мы с вами, вправе спросить, за что и кому платим. Ведь если нет публичного доступного отчета или определенных результатов от научных работников, плательщики могут сказать: мы не понимаем, почему мы платим. Поэтому ученым было бы не лишним больше внимания уделять просвещению и работе с громадой, прежде всего детьми. Как вариант, писать научно-популярные статьи и создавать страницы или блоги, где можно было бы публиковать свои материалы исследований в популярном формате.
Также есть смысл инициировать создание центров, музеев или хотя бы пришкольных уголков интересной науки, которых сегодня в Украине, к счастью, становится все больше. Это такие центры просвещения, где все экспонаты - в открытом и свободном доступе. Говоря образно, ты можешь почувствовать науку на ощупь, и это дает возможность каждому представить себя уважаемым ученым и провести эксперименты в той или иной сфере знаний. Цель здесь одна: удивить аудиторию чем-то нестандартным и невиданным, а потом эти люди заинтересуются наукой, начнут ее уважать и учить.
Математика - не исключение. Всегда привлекают, скажем, оптические иллюзии, логико-математические игры, интерактивные дроби, мини-пространства наподобие "Геометрия в моде" или "Искусство и наука оригами". Константин рассказал, что собственными глазами видел детей, которые "в обычной жизни" не очень интересовались математикой, но с восторгом подходили к интерактивным экранам, вводили туда уравнение поверхностей и смотрели, как эти уравнения превращались в реальные объекты. Ребята их крутили-вертели, и для них это была настоящая магия. Кстати, наш консультант добавляет, что это был просветительский проект общественной организации Imaginary, штаб-квартира которой находится в Берлине. Задачей этого проекта было показать, что уравнение - это не просто x и y. За их значками скрыты иногда довольно причудливые формы. Например, можете ли вы написать уравнение сердца? Ответ: да! А уравнение людей в поцелуе? Тоже да! Вот такое интересное проявление алгебраической геометрии.
В-третьих, надо пытаться визуализировать науку. Например, что такое функция тангенс? Это абстракция, которой, на первый взгляд, не существует в нашем мире. Но эту функцию можно материализовать. И когда ты дотрагиваешься к какому-то достаточно непривычному предмету и знаешь, что так выглядит вот эта, казалось бы, абстрактная функция, - отношение к науке кардинально меняется. И здесь мы должны рассказать небольшую историю.
На кафедре фундаментальной математики факультета математики и информатики Каразинского университета хранится уникальная коллекция гипсовых геометрических фигур, которой более 100 лет. Она создана при содействии выдающихся немецких геометров XIX в. Эдуарда Куммера, Феликса Клейна и Александра фон Брилля.
В 1908 г., по инициативе известного математика, профессора Харьковского университета Дмитрия Синцова, по случаю открытия кабинета геометрии была приобретена одна из первых геометрических коллекций. На сегодняшний день эта коллекция насчитывает 240 гипсовых, проволочных и металлических моделей.
Следует подчеркнуть, что большая часть коллекции пережила две мировые войны. В частности, Вторую мировую - благодаря инженерам кафедры Сидору Шуляченко и его жене Марии. И, безусловно, после такой истории хочется продолжить жизнь этой коллекции. В 2016 г. Константин Драч основал интернет-проект "Touchgeometry - Прикоснись к геометрии" при Каразинском университете с целью популяризовать геометрию с помощью этой уникальной коллекции. Поверьте, поражают не только формы. Поражают даже названия экспонатов: "Циклида Дюпена", "Конфокальные квадрики", "График ρ-функции Вейерштрасса", "Эллипсоид с тремя осями симметрии", "Пространственная эвалюта поверхности 2-го порядка"… Кстати, одну из поверхностей последнего типа называют "Ромео и Джульетта" благодаря циклу картин известного художника Мана Рэя, посвященных коллекции гипсовых моделей геометрических фигур, которая хранится в математическом Институте им. Анри Пуанкаре в Париже. Мастер настолько был поражен формами моделей этой коллекции, что нарисовал серию картин под названием "Шекспировские уравнения". Это было в 30-х XX в. Вот такая арт-математика!
…Последний мой вопрос к Константину немного неформальный: "Можно ли с помощью науки, в частности математики, стать миллионером?". Мой собеседник, улыбнувшись, сказал: "Да! Надо просто решить одну из пока что нерешенных задач, которые так и называются: проблемы на миллион, или проблемы тысячелетия. То есть после решения каждой из них американский Математический институт Клэя выплатит награду, которая равняется одному миллиону долларов США. Конечно, после надлежащей проверки решения.
Одна из проблем связана с т.н. дзета-функцией Римана. Вам надо понять, в каких точках эта функция равняется нулю. Такие точки называются корнями функции (дзета-функция Римана - это функция комплексной переменной). Эта функция имеет тривиальные корни -2, -4, -6 и т.д. Если вы сможете доказать, что все нетривиальные (т.е. остальные) дзета-функции лежат на прямой, где действительная часть равняется одной второй, вы получите миллион долларов.
Или другая задача, более прикладного характера. Есть такое уравнение, которое называется уравнение Навье-Стокса. Оно моделирует потоки жидкостей. Вопрос в том, имеет ли оно решение и какие свойства этого решения. В математике часто бывает, что "какое-то" решение найти легко. Просто надо дать подходящее определение понятию "решение". Но существует ли у этого уравнения хорошее, гладкое решение? Надо доказать или опровергнуть, что такое решение существует. И вот у вас уже два миллиона долларов!..
Ученые, математики - своеобразный народ. Главное для них не в деньгах. Должен быть внутренний интерес. И чаще всего богатство заключается в том, знаешь ли ты ответ на тот или иной вопрос или нет. И чем больше у тебя ответов, тем ты богаче!".