Один из аргументов против обязательного ВНО по математике — якобы есть «математический» склад мышления, а есть — «гуманитарный». Первый — аналитический, в то время как второй включает творческие способности, гибкость и креативность. И эта естественная особенность якобы делает нас неравными перед тестированием. Такое «бинарное» разделение укоренилось в нашем сознании. Мы точно знаем, к какому из «лагерей» принадлежим, и боимся, что, зайдя на «чужую» территорию, очевидно потерпим неудачу.
И мы почти не осознаем, что этот стереотип — не просто ошибочен, но еще и деструктивен. Когда кто-то называет себя гуманитарием (что вовсе не означает наличия у человека докторской степени по филологии), то, вероятно, математика с физикой ему «не зашли» и он навесил на себя такой ярлык.
Можно предположить, что «математическая травма» началась со скучного урока, незаинтересованности предметом или конфликта с учителем. А возможно, учитель был хороший, но на уроках ориентировался на развитие «звезд» и не принимал во внимание, что для кого-то материал был слишком сложным. Ну а потом, как следствие, — первая «дурная» задача, которую не удалось решить сразу, потому что не хватило определенных знаний. Кто виноват? Учитель, который не заинтересовал? Родители, которые своевременно не отреагировали и не помогли? Или Министерство образования? Персонализированная ответственность нуждается в действиях, а вот безличный ярлык «гуманитарный склад мышления» перекладывает ответственность на безмолвную природу, и этим все заканчивается. Но, деля мир на «физиков» и «лириков», мы ограничиваем собственные возможности. Достаточно повторить несколько раз, что ученик — гуманитарий, и ребенок не будет верить в свои аналитические способности. Ученики же с ярлыком «технарь» подсознательно перечеркивают себе реализацию в творчестве, изучении иностранных языков и во многих других гуманитарных областях.
Исследования последних лет все больше склоняются к выводу, что математического и нематематического образов мышления не существует.
Британский математик, профессор Оксфордского университета и известный популяризатор науки Маркус дю Сотой уверен, что мы все — «математики». Да, отдельным людям может нелегко даваться арифметика (приблизительно 5% популяции — это люди, которым присущ математический аналог дислексии — дискалькулия), но выявление шаблонов, распознавание симметрий и чувство формы — намного важнее навыков для изучения математики: именно они сформировались в результате эволюции и имеют большое значение для выживания популяции. Например, распознавание симметрии нужно для принятия быстрых решений, когда человек видел симметричные паттерны в живой природе: скажем, симметричные морды животных. Можно было или съесть животного и выжить, или же, наоборот, быть съеденным животным. Так же люди с развитым ощущением чисел могли оценить, превосходят ли враги их племя количеством — и на основании этого решить: драться или спасаться бегством.
Осознав, что все мы «математики», можно убедиться и в том, что математика и творчество — крепко переплетены. Действительно, во время уроков по математике ученики распознают закономерности и симметрии, учатся работать с формами, пропорциями, оценивать размеры, развивают пространственное мышление... А это же и о красоте! Похожими вещами мы занимаемся, когда рисуем, играем на музыкальных инструментах, лепим. Следовательно, такие учебные дисциплины, как математика и искусство пересекаются и направлены на развитие схожих навыков. Как в математике, так и в искусстве есть подготовительная часть: работа над шаблонными упражнениями, арифметика, квадратные уравнения, смешивание красок, подготовка полотна, скучные часы сольфеджио. Все перечисленное не является искусством, это — лишь подготовка к акту творчества. Сам акт — создание художественных или музыкальных шедевров или решение математических задач (как школьных, так и открытых научных), во время которого важны и полученный результат, и эстетическое удовлетворение от красоты «элегантного» решения.
Бертран Рассел называл красоту математики суровой, а вот известный математик Чарльз Ла́твидж До́джсон (Льюис Кэрролл) в своих произведениях продемонстрировал миру математическую красоту через фантазии, легкую игру слов и математическую логику.
Со времен античности у пифагорейцев музыка и гармония являлись первым доказательством того, что космические явления можно описать математически. Считалось, что похожее гармоничное расположение планет тоже порождает «музыку сфер». Известный английский математик Годфри Харолд Харди сказал: «У математика, как и у поэта, и живописца должны получаться красивые узоры». А создание красивых узоров — является одной из математических задач. Вот вам примеры.
Один из необыкновенных математических объектов (прототип фрактала), который с ХІХ в. носит название «множество Кантора», был известен людям еще в Древнем Египте: этим изображением украшали колонны, а самоподобные фрактальные структуры присущи орнаментам африканских племен и использовались во время планировки поселений (рис. 1).
Рис. 1 Фракталы в культуре. (1) — множество Кантора на колонне в Древнем Египте, (2) — план африканских поселений, (3) африканская маска с элементами треугольников Серпинского (из книги Ron Eglash African Fractals)
Еще один из малоизвестных примеров математики в искусстве — явление храмовой геометрии в Японии. Проявление этой традиции — деревянные таблички сангаку (рис.2), на которых вырезали или рисовали математические задачи. Они сделали огромный вклад в развитие математики в Японии. Геометрические теоремы вместо образов святых появлялись под крышами в синтоистских храмах как вызов всем желающим найти элегантное решение, красоту и вдохновение.
Рис. 2. Деревянные японские таблички сангаку, на которых вырезали или рисовали математические задачи
Если вернуться к средневековой Европе, то здесь математические знания воплотились в характерных узорах готических оконных проемов, демонстрирующих сложные геометрические конфигурации, созданные объединениям основных геометрических фигур — кругов и прямых линий. Чтобы вдохновиться всеобъемлемостью математики в готических формах, не надо далеко ехать, достаточно присмотреться к фасаду киевского костела Святого Николая. Здесь, кроме вписанных кругов, можем увидеть важную в инженерной науке фигуру — треугольник Рело (рис.3), который является более простой, после круга, фигурой постоянной ширины.
Рис.3. Фасад киевского костела Святого Николая, содержащий круги и треугольники Рело, которые являются по сути треугольными колесами. Форма треугольника Рело еще используется для сверления квадратных отверстий
От сказочного дворца Альгамбра в Гранаде к пятничной мечети в Исфахане (Иран) — красота и математическое наследие проявляются в исламских геометрических рисунках, которые почти везде можно видеть в мечетях, медресе и дворцах. Узоры встречаются на зданиях, керамике, монетах, гобеленах и картинах, что демонстрирует огромное разнообразие математических навыков, необходимых мастерам, создававшим их.
Рис. 4. Паркеты математика. (1) — «Ящерицы» Эшера, (2) — мозаика из дворца Альгамбры, (3) — паркет Пенроуза.
Именно арабские мозаики дарили самое большое вдохновение художнику Морицу Эшеру, использовавшему в своих работах базовые элементы, построенные на треугольниках, квадратах и шестиугольниках (рис.4). Он превратил эти фигуры в животных, птиц, рептилий. Такие обезображенные основы мозаик сохраняли свойство мощения плоскости без перекрытий и щелей. Сам Эшер говорил, что «в школе был очень плохим учеником», и удивлялся, что математики используют его рисунки для иллюстрации своих книг. Фантазии Эшера сейчас помогают учителям в объяснении таких математических понятий, как параллельное перенесение, сходство фигур, равновеликие фигуры, периодичность, квазипериодичность, мощение плоскости.
С помощью анаморфного искусства (когда картину или скульптуру можно увидеть только с определенной точки или при помощи специальных предметов, например, конических или цилиндрических зеркал) в работах венгерского художника Иштвана Ороса или скульптора Джонти Хартвица можно делать наглядным и объяснять школьникам разные отображения плоскости или пространства на себя.
Учитель математики, любящий свой предмет, может найти математические паттерны, закономерности и задачи в мире искусства и увлечь математикой детей, которые, возможно, зевали, решая логарифмические неравенства. Именно поэтому очень актуальным в образовании STEAM становится подход, включающий еще один важный компонент — Art. Благодаря интеграции искусства, математики и естественных наук, можно сделать занятия интересными большинству учеников. Воспринимая интегрированные искусство и математику, школьники учатся расширять понимание того, кем они являются на самом деле: и математиками, и художниками!
Еще один из созвучных современных трендов образования — музейная педагогика, базирующаяся на междисциплинарном подходе в условиях музейной среды. Такие уроки по STEАM в музее становятся сейчас популярными в нашем киевском Национальном музее искусств имени Богдана и Варвары Ханенко. На один из них — для юных художников и математиков — «Круг и его свойства на материале произведений из коллекции Музея Ханенко», созданный совместно с НЦ МАН Украины, я вас и приглашаю.