Математика — один из самых сложных предметов в школьной программе, особенно из-за ее абстрактного характера. Британский философ, логик и математик Бертран Рассел когда-то выразил свое понимание математики в такой фразе: «Чистая математика — это предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, является ли истинным то, что мы говорим». Конечно, к большинству людей понимание математики не приходит через формулы, уравнения и абстрактные символы. Большинство из нас (а тем более школьники) нуждаются в наглядных проявлениях математических закономерностей, и еще лучше — возможности собственноручно проверить эти математические законы.
И если в 1–4 классах математические темы легко объяснить на обычных и понятных детям примерах из их реальной жизни, то в школьном курсе математики после 5-го класса есть довольно много абстрактных тем и понятий, для которых очень сложно (а иногда и невозможно) найти соответствия в повседневном опыте. В отличие от естественных наук, которые имеют больше возможностей для представления научных открытий и демонстрации соответствующих физических объектов и явлений.
С этой проблемой каждый день сталкиваются учителя математики. Поэтому они постоянно ищут способы «сделать наглядным» свой учебный предмет, показать, как, на первый взгляд, абстрактные формулы и законы связаны с жизнью. Здесь можно дать несколько важных советов.
Первый. Создавать наглядные математические модели. Учителя пытаются демонстрировать математику с помощью наглядных моделей, которые понятны ученикам, потому что касаются их жизненного опыта.
Эти модели можно создать на уроках с помощью разных доступных материалов: твердого картона, веревок, бутылок, металлического провода, ткани и т.п. И это не обязательно готовые наборы — наглядные демонстрационные модели создавались (и, вероятно, до сих пор создаются) в некоторых украинских школах. Они являются основой для исследовательских работ Малой академии наук (МАН) и источником вдохновения для школьников. Я, в частности, знаю несколько таких киевских школ и еще несколько локаций по Украине, где учителя-энтузиасты используют наглядные визуализации математических идей, а не только ограничиваются пересказом правил, формул и параграфов учебника.
Второй совет. Начинать объяснение с визуализации, а не с абстрактных законов.
Урок математики в школе, как правило, начинается с формулировки определений и теорем. Обычно речь идет об абстрактных понятиях, которые потом начинают демонстрировать на конкретных примерах. По такой схеме, например, изучение понятия «диаграммы Вороного» должно проходить так: сначала учитель должен дать математическое определение понятия, потом продемонстрировать алгоритм построения таких диаграмм, а затем показать разные способы применения их в реальной жизни. То есть построить обучение по схеме СФОРМУЛИРОВАТЬ → ПРОДЕМОНСТРИРОВАТЬ, от абстрактного к конкретным случаям и примерам. Но для изучения абстрактных понятий, которые обычно для понимания, эта схема может быть не лучшей, ведь уже на первом этапе у школьников снизится мотивация изучать сложную, не очень понятную и, на первый взгляд, оторванную от жизни тему.
А если поступить иначе? Если мы начнем занятие с визуализации, например, лужайки с грибами, которые воняют, и нам нужно проложить маршруты так, чтобы меньше всего чувствовать этот смрад? Мы уже получим из проложенных путей вокруг грибов диаграммы Вороного.
Дальше заменим грибы ресторанами (с одинаковыми предложениями) и спросим у учеников: какой смысл теперь у разбивки точек пространства на области? Конечно, это области, где живут потенциальные клиенты, ближайшие к определенному ресторану. А если это игроки на поле, то мы с помощью такой разбивки можем определить, какая команда контролирует поле. Правда же? А если мы обведем это в овал и дорисуем немного, то вообще получим узор на панцире черепахи.
Мы видим, что эти четыре наглядно понятных примера объединяет абстрактное понятие «диаграммы Вороного». Это и есть осознание, что такое абстрактность. Она — как нить, на которую можно нанизывать разные прикладные проявления этого понятия. После этого математическое определение будет уже более понятным и подкрепленным нашим повседневным опытом. То есть схема преподавания материала ПРОДЕМОНСТРИРОВАТЬ → СФОРМУЛИРОВАТЬ является более наглядной и более понятной. К ней можно добавить еще один компонент — ПОЛУЧИТЬ СОБСТВЕННЫЙ ОПЫТ. Так, возвращаясь к теме диаграмм Вороного, можно их создать с помощью мыльных пузырей на поверхности или в стакане. Естественный процесс их образования соответствует математической сути диаграмм Вороного.
ПРОДЕМОНСТРИРОВАТЬ → СФОРМУЛИРОВАТЬ → ПОЛУЧИТЬ СОБСТВЕННЫЙ ОПЫТ — это схема усвоения математических знаний, получившая широкое распространение во многих странах, где благодаря аналогичным методам объяснения математических идей зародился новый подход к преподаванию математики.
Третий совет. Выходить за пределы учебников.
В Германии такие подходы к преподаванию математики стали основой для создания первого национального музея математики. В 1993 году профессор дискретной математики и геометрии Альбрехт Бойтельшпахер начал проект о том, как объяснять математические абстракции. Методика Альбрехта заключается в том, чтобы поставить себя на место студента, определить, что именно служит причиной трудностей, и попытаться объяснить это иначе — с помощью примеров, изображений и специальных программ. Бойтельшпахер также создал многосерийное шоу «Прикоснуться к математике» (Mathematik zum Anfassen).
Кроме того, на одном из его семинаров возникла идея первого в мире интерактивного музея Mathematikum в городе Гиссен https://www.mathematikum.de/, где каждый посетитель может дотронуться к экспонатам, провести эксперимент и решить головоломку. Модели для первой выставки подготовили сами студенты. Этот музей, который был торжественно открыт в 2002 году, стал настоящей сенсацией и уже в 2010 году принял своего миллионного посетителя. Лозунг музея — «Математика для всех!» — подчеркивает его доступность для всех возрастных категорий и уровней подготовки. Посетители могут погрузиться в гигантский мыльный пузырь, играть с симметриями, исследовать иллюзии и парадоксы. Важной особенностью музея является то, что его интерпретаторами выступают молодые люди без высшего математического образования. Это дает им возможность общаться с посетителями на понятном языке и делать математику доступной для всех.
Но музей, созданный Альбрехтом, не был первым музеем математики. Первая попытка такого рода состоялась в Cité des Sciences et de l’Industrie в Ла-Виллетт в Париже. Экспериментальное математическое пространство было создано в Palais de la Découverte на протяжении 1980-х годов. Horizons Mathématiques стала первой математической выставкой и была представлена в более 50 странах и 200 городах. А в 2023 году в Париже был, наконец, открыт первый музей математики. Институт Анри Пуанкаре в Париже разработал музей, посвященный математике и ее применению — первый своего рода во Франции. Расположенный в центре действующего исследовательского центра, Парижский музей математики подходит для всех посетителей, от учеников средней школы до ученых.
Согласно данным из Википедии, на сегодняшний день во всем мире насчитывается более 50 специализированных математических пространств. В этот перечень не вошли еще математические залы в больших музеях науки, таких как Nemo (Амстердам, Нидерланды), Science Centre AHHAA (Тарту, Эстония), iQLANDIA (Либерец, Чехия), Ars Electronica (Линц, Австрия), Technoseum (Манхайм, Германия), Science Center Spectrum (Берлин, Германия), Experimenta (Хайльбронн, Германия), Le Vaisseau (Страсбург, Франция) и много других.
Многие экспонаты разных музеев математики — это наглядные доказательства теоремы Пифагора (или других фундаментальных теорем геометрии), увлекательные головоломки, пазлы из геометрических фигур и оптические иллюзии.
Еще один аспект музеев математики — это их связь с культурным наследием. Музеи сохраняют и распространяют невероятные достояния человечества за последние 5000 лет, в частности египетские, греческие, месопотамские, китайские, майя. Эти цивилизации развили математику, известную нам сейчас.
Опыт многих стран показывает, что инновационный подход к преподаванию математики может оказывать значительное влияние на развитие образования в целом. Украина, с ее богатой историей и талантливой молодежью, также имеет потенциал для создания таких инициатив. Организация таких музеев, интерактивных экспозиций и научных центров могла бы не только помочь преодолеть образовательные потери, но и вдохновить новое поколение украинцев на изучение математики и науки в целом.
Сейчас в Украине еще только начинается работа над созданием музеев математики, но уже сегодня узнать интересное о математике можно в Музее науки (Киев) и научных пространствах, открытых в разных городах.
А те, кто хочет лучше понять математику и учиться с увлечением, могут найти интересные украиноязычные материалы на интернет-ресурсах:
— проект «WOW-математика»;
— сайт для изучения математики Mathigon;
— украиноязычные уроки для тех, кому интересна математика;
— сайт Международного дня математики, где есть активности на украинском языке.
Преодоление образовательных потерь является сложной задачей, которая требует комплексного подхода и привлечения всех заинтересованных сторон. Формальное образование, внешкольные учреждения, музеи и научные центры — все они должны работать вместе, чтобы обеспечить качественное обучение и развитие молодежи. Украина имеет все шансы преодолеть эти вызовы и создать систему образования, которая будет соответствовать потребностям современного мира.